梁进：大自然是个数学老师

　　新浪财经讯  主题为“和而不同，思想无界”的 CC讲坛第43期演讲于2021年6月19日在北京举行。来自同济大学数学科学学院教授梁进出席并以《大自然是个数学老师》为题发表演讲。

　　以下为演讲全文：

　　大家好，我是同济大学数学科学学院的梁进，今天我来和大家分享大自然中的数学奥秘。我的演讲以唐代诗人王之涣的一首小诗开始，白日依山尽，黄河入海流。欲穷千里目，更上一层楼。这首小诗的上一联描绘了大自然的壮美景观，下一联它是一种数学的方式，隐喻着人和自然的关系，我们想要进深入的了解自然，我们就得站得更高，看得更远。

　　我们是自然之子，我们赖以生存的空间是自然。自然给予我们丰富的馈赠，但是是有限的，我们不应该向自然无限的索取，而应该和其和谐相处。而自然对我们也并不总是温柔，有的时候还是很狰狞的。

　　我小时候物质生活比较匮乏，水果是比较稀罕的，有一次我拿到一个苹果久久舍不得吃，放在手里转啊转的，然后当时看着的苹果，心里就寻思的，为什么苹果会是圆的？为什么它长成了一个球形？当时我想了半天给自己找到的答案就是它如果不长成球形，如果长得有些棱角，那么这些棱角就是最容易受到伤害的部分。那么后来长大了，我学了数学，我知道对于一个三维体，同样的表面积，球形就是一个最大体积的形状，也就是说苹果长成了它一种最优的形式。

　　小的时候我也喜欢望着太空胡思乱想，有一次我问我的父亲：天到底有多大？父亲并没有直接回答我，他只是反问我，说：那么你认为天有多大？我想了一下说：天应该是一个很大的盒子，他笑了他接着问我：那么这个盒子的外面又是什么呢？我被他问住了，我当时想了想又说：盒子的外面应该还是天，后来他说：对了，这就对了，天就比任何一个有限的盒子都要来的大。

　　后来我学了数学，我学了微积分，碰到了无穷的概念，后来就知道了无穷比任何一个有限的盒子都要来得大。

　　大自然给了我们很多简单的形态，例如我们看到太阳，月亮是圆的是球形的，我们还看到各种的植物，它们的果实，他们的花果是球形的，还有他们的枝干是圆柱形的，以及他们的叶子是扇形的，我们还有更多的晶体的形态，例如地下的矿石，它们是多面体的形状而存在着。

　　上面的那一颗图形是碳原子的分子结构，我们知道它不一样的结构，会有不一样的物理形态，那么底下的正方形是食盐的晶体结构，所以这些都给了我们一些多面体的，数学中的几何形状。那么自然它通过一些简单的几何形状告诉了我们一些信息，数学就是研究这些最简单的形状来开始的。

　　那么数学是从代数几何开始，代数就研究数，几何就研究形，最后我们研究到更加深入，而这些简单的形状我们得到了这样的一些信息：三角形的稳定性，矩形的规则性，圆形的圆满性、优化性，直线的简单性、直达性，曲线的柔和性等等。

　　大自然也有很多的规律，有些规律我们是直接能感受到的，比如说四季的交替，日月的交替，还有声波的传播，还有神秘的间隙泉等等，数学的发展以它自己的方式来描述这样的一些规律。这些方式其中之一就是函数。

　　大自然是美的，中间有很多很漂亮的东西，比如花朵的形状，花籽的排列，还有枝杈的角度，以及神奇的海螺，还有花叶菜的状态等等，背后都有一个神奇的比例关系，这个叫黄金分割，比这个比例就是0.618和1.618，这两个是个无理数，它们之差是等于1，它们是互为倒数的。大自然以这种神奇的比例形式展现给我们很多，通过一些很简单的形式表现给我们，例如说黄金三角形、黄金矩形、黄金角度、黄金数列，还有黄金螺线等等。

　　大自然还有很多更美的更复杂的形态。我想很多人都观察过雪花。大家有没有注意到过，我们有一句话叫做：没有一片雪花是同样的。而关于雪花，你如果愿意拿着放大镜去观察一下的话，你就会发现它放大以后还有很精细的结构，如果你把放大镜放的更大，你发现这种精细的结构还是存在的。所以大自然中有这样的一种形态，这种形态在很多时候能发现，譬如说地脉、芦苇花，还有火山岩等等。

　　在上个世纪有一位数学家叫蒙特波罗，他曾经提了一个问题，他问到英国的海岸线到底有多长？这个问题听起来好像比较简单，海岸线，你拎个尺子去量就完了，结果当你真的拿着尺子走到海岸线的时候，你就会发现这是一个不可能完成的任务，因为海岸线曲曲折折、弯弯绕绕，你越量越长，所以蒙特波罗就从中引出了一个新的数学分支，这个就要分形。分形描述的是在任意小的尺度里都有这种精细的结构，而且它具有一定的自相似性。

　　给大家展示两个比较简单的例子，这个例子一个叫做科克曲线，一个叫谢尔宾斯基三角形，我就以科克曲线为例，科克曲线是以一种规定的方式定义的，我们先定义一个等边三角形，然后把这三角形的边把它分成三等份，再从三等份中间的那个部分让它再长出一个相似的三角形，这种方式你就不停的做下去，做到一定程度后，你就发现你得到一个像雪花一样的东西。那么现在问题来了，这一朵雪花的周长会是多少呢？首先你会知道这朵雪花一定是被框在一个有限的二面区域里边，但是它是因为是递归构造的，所以它的周长就是一个级数的形式，而这个级数是发散的，这个就意味着它的周长是无穷长。在一个有限区域里头的一个无穷长的曲线是个什么概念？那么数学告诉你讲，这条曲线的维数不在是一了，它是多少？它是1和2之间的一个无理数。像这张很漂亮，这个图是计算机模拟的不断重复的这么一个过程，模拟出来的计算机也做不到无穷，但是它做的次数很大，比我们人做的次数要大多了，我们会发现它形成一种特别美妙令人窒息的美和复杂。

　　我们还看到大自然给了我们很多启发，其中一个重要的启发就是“网”。在17世纪有一位哲学家、数学家叫笛卡尔，他当时穷困潦倒，躺在一个小破旧旅馆的床上，他望着天上天花板的蜘蛛网在那发呆，忽然一个灵想击中了他，他想着代数点可以和几何点互相对应起来，于是就提出了直角坐标系。

　　今天我们知道直角坐标系中学都会学到，而且现在把它叫做迪卡尔坐标系。

　　那么今天的网更是不得了了，它不仅仅把代数点和几何点对应起来，还有各种各样的关系，甚至风马牛不相及的关系都可以连起来，这就是我们的互联网时代。这张网把我们一网打尽，而这张网的源头就是一个小小的蜘蛛。数学以它的方式发展着发展出很多很深奥的学科出来，其中有一门叫做微积分，微积分很多同学进了大学都是会去学习的，而且觉得它很难，但是大自然却给了我们很多的方式，它去诠释了微积分的很多的概念。

　　几张图是我在世界各地拍的，还有两张图是射电望远镜拍的，实际上就是大自然给了我们一些微积分概念的直接诠释。例如相切、趋近、差分，剖分，还有最值，还有收敛和发散等等。我们学了数学以后，我们马上可以做到的就是用数学去解释一些现象，这些现象看起来不是很简单，其实可以算出来。例如说我们在座的很多人都见过彩虹，彩虹你有没有发现一件事就是说不管你在什么时间，在什么地点观察到彩虹，彩虹的虹点最高的点和你眼睛以及地面的夹角好像都是不变的。对的，微积分可以计算出来，告诉你那个角度就是42̊。

　　我们很多人还很喜欢水生动物，鱼在水里头自由自在飘逸，那个样子非常可爱。但是你有没有注意到鱼在水里头从来不是一条直线的游，它而是忽上忽下的在游，它为什么要这样的游呢？因为它要借助重力去达到一个省力的状态。微积分可以根据鱼的重量，根据水的阻力，计算出鱼的一个最佳的角度，游弋的角度。

　　现在的问题就来了，我刚才说的花儿、草儿、还有这些鱼儿，它们为什么以数学的方式在那行为，在那儿生活着？这个好像有点不可思议。背后的原因就是他它们必须要有一种最佳的方式，它们才能在最激烈的大自然的竞争中生存下来，而数学就是解开最优方式的方法。

　　数学还解开了一些我们人类自古以来的就是一些疑问。比如说遗传，我们知道有一句俗语叫龙生龙凤生凤，老鼠生儿打地洞是吧？生物是如何把自己的生物密码遗传给下一代的，这个问题一直困惑着人们。上一个世纪有一位遗传学家叫孟德尔，他做了很多遗传实验，其中通过豌豆花能解开了显性遗传和隐性遗传的数学的方式。后来人们有了进一步的发展，特别是DNA的发现，当时大家认为我们找到了遗传密码。不过遗传密码还有很多工作要做，于是大家开始写DNA基因组的基因组序列，写出来以后，大家就发现傻了眼了，为什么？就是一部天书，看不懂，真是看不懂。里面的信息我们完全无法扑捉，我们只能知道几个片段是什么意思，大量的信息不懂，所以大自然给了我们更大的一个谜，就是基因的密码。我们人类是喜欢接受挑战的，要解开密码，这个工具或者说这个方法就是数学方法。

　　数学还在我们的经济生活和社会生活中起到很大的作用。我们刚刚结束了第7次人口普查，有人就会奇怪问一个问题，我们干什么要费时、耗人力、财力的去搞人人口普查？为什么要这么做？因为我们有数学模型，数学模型可以刻画人口变化的一些规律，通过这些规律我们来制定我们的政策，制定我们的管理方案，能达到一个科学管理的目的。数学模型中间有好多参数，这些参数它是根据我们的文化背景，根据我们的生活习惯，根据我们的观念，还有我们的科技水平，生活水平、经济水平等等因素，它在不停的变，所以我们需要实时的通过人口普查来从实际数据中获取这些参数，来让我们的人口普查的模型更加确切地反映我们的实际情况。我展示了一个非常简单的模型，这个模型就是人口自主增长模型，我们真正用的模型比它复杂。那么右边的这个图，就是模型所描绘的图像。

　　在大自然中不仅有人类，我们还有很多的物种，这些物种相互之间都有很多的关系，很复杂，但是你可以把它简化，基本上就有三个最基本的模型，三种最基本的关系就是捕食模型、躯体模型还有互助模型。

　　而我们人和大自然之间的关系，最近出了一点问题，大家都知道这个问题就是温室效应，为什么温室效应会引起大家那么大的重视？因为我们有数学模型，我们用可以用数学模型去模拟去刻画温室效益带来的后果，我们发现这个后果真的还是比较严重的，所以我们要通过不停的调整我们人类的行为，来以达到和大自然和谐相处的目的。还是要通过数学来调整我们的行为，了解我们自己的行为。那么大自然对你不检点的行为，它会有警告，这些警告就是通过自然灾害告诉你，这些自然灾害包括龙卷风、海啸、火山、地震，还有最近席卷我们全球的，侵略我们全球的新冠肺炎以及其他的病毒，这些东西我们数学也是要去进行刻画、了解、去描述的。这些描述这些东西对数学来讲也是很挑战，因为所有的这些灾难都有突发性，我们想要了解它的规律，我们现在做了一些工作，但是还远远的不够，我们真正了解这些规律，我们才可以最大程度的减灾，让我们从自然灾害的警告中警醒过来。

　　这个里头我给大家展示一个模型，这个模型就是传染病的数学模型，当然是一个简单的形式了，大家用的比较复杂，这个简单的形式实际上是三个方程的一个方程组，三个方程的描述了患病人群还有易感人群以及死亡人群之间的关系，其中有三个重要的参数就是感染率、死亡率和治愈率三个参数，根据三个参数我们解这个方程，右边的这个图就是方程解的图像，所以我们看出来，当你这个参数变的时候，它的图像也在变，那么我们现在的抗疫措施是什么？说穿了就是调整这三个参数，提高治愈率，减少死亡率，减少传染率，能达到我们尽快的让疫情控制下来的目的，这就是我们疫议的目的和行为。

　　太空对我们人类来说是永远的奥秘，因为它太大了，最伟大的科学家都为此做了很多的工作和为此做了奋斗。其中牛顿提出了三大定理，物理学上奠定了经典物理学的基础。而且他还和另外一个数学家莱布尼兹一起提出了微积分。同时代还有一位天体学家叫开普勒，也提了一个三大定律，他主要通过观察，然后描述了行星的规律，其中有一个规律就是：行星是绕着太阳一个椭圆形的轨道进行运行着，而且这个太阳就在焦点上。而牛顿的定律基本上是说物体心体和物体之间的关系，所以它们两个定律看起来是不一样的，但是通过微积分可以证明这两样东西都是等价的。更有甚者，当时根据这些定律什么计算，还预示了当时的观察手段还看不到的两颗星，一个是海王星，一个是冥王星。而后来观察技术提高以后，证实了海王星和冥王星的存在。

　　在上个世纪爱因斯坦也提出了他的广义相对论，当时在广义相对论提出来基本上好多东西都是靠数学的推演很多人都不大相信。而且广义相对论基本上很多都用到了很高深的数学，像黎曼几何这样的东西，当时他还预言了一件事情，这个事情就是引力波，在当时是观察不到的，他的引力波在他预言以后将近过了100年，我们的测绘的手段，观察的手段，都有了很大的提高，今天观察到了，并且证实了引力波的存在。那么我们看到像爱因斯坦像牛顿都是伟大的科学家，但是他们同时又是数学家。

　　科学跟自然的关系是最紧密的，而数学真是科学的基础。关于科学我非常喜欢一首英语的小诗，这首诗我把它翻译过来就是：为什么飓风会旋？为什么水波会断？为什么火焰会燃？为什么闪电会颤？我们关于这个世界的问题与生俱来，科学可以回答这些疑问，然而科学更是问问题的程阶。

　　数学和科学的关系，科学和自然的关系是这样子的，所以我们可以看到自然的规律的抽象是数学，自然美的表达是数学，数学是我们与自然交流的语言，揭开自然的奥秘的钥匙是数学，所以数学对我们来说不仅仅是很多人心里那种算算账，买买菜的那种意思，而是我们和自然之间关系的一种纽带和联系。

　　最后我的演讲以我写的一首词为结尾，《望海潮致新年》这首词的最后两句话：“寄故人来日，多聚阳晴。即便风雨，也是清爽伴君行”。

　　我讲的内容写在了我这本书里边，这本书获得了2020年5月的中国好书，这本书就是《大自然是个数学老师》。

　　主持人：杨老师，我想问您一下，当下孩子们的学习中什么最重要？

　　梁老师：虽然我小的时候没有学很多东西，但是我一直是一个爱思考的孩子，我开始讲到了两个故事，所以勤于思考一定是最重要的，你只要一直愿意思考，大自然有很多问题，而这个问题的不要有功利性，不要说我为了考什么东西而去学习，那就好了。

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责任编辑：梁斌 SF055