用导纳史密斯圆图分析RLC元件及实例

了解导纳史密斯圆图，以分析电阻器、电容器和电感器的并联连接，并查看电路在扫频范围内的行为。

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由于网络分析仪直接在史密斯圆图上显示反射系数数据与频率的关系，因此熟悉史密斯圆图以轻松识别RLC组件的组合可以产生显示的轮廓非常重要。在上一篇文章中，我们使用阻抗史密斯圆图来检查串联RC、RL和RLC电路的频率响应。史密斯圆图是电气工程师菲利普·哈格·史密斯的发明。

在本文中，我们将推导导纳史密斯圆图，该图使我们能够轻松分析电阻器、电容器和电感器的并联连接。我们将看到，通过扫频，并联电路的导纳在史密斯圆图上产生了一个轮廓，描述了扫频范围内的电路行为。

导纳史密斯圆图的建立

串联RC、RL和RLC电路的频率响应可以很容易地通过阻抗史密斯圆图进行分析。从电路理论概念来看，当处理RLC元件的并联连接时，使用导纳（Y）概念可以简化计算。以类似的方式，我们可以绘制Γ平面中的导纳等值线图，以分析组件的并联连接。这给了我们一个新的史密斯图，称为导纳史密斯图。

让我们看看如何利用我们对阻抗史密斯圆图的了解来推导导纳史密斯圆图。阻抗史密斯圆图实际上是Γ平面中z的某些特定值的以下映射函数的图：

方程式1

这里z=r+jx是归一化阻抗。电阻r和电抗x的一些常数值的上述映射函数图为我们提供了阻抗史密斯圆图，如下图1所示。

图1 阻抗史密斯圆图示例

作为电子工程师，我们知道方程1中参数z的物理解释表示电路的阻抗。然而，从数学的角度来看，z只是一个复数，可以表示任何复数参数。换句话说，有了阻抗史密斯圆图，我们知道方程1如何将任意复数z映射到Γ平面。为了利用这些知识推导Γ平面中的导纳轮廓，我们只需要将Γ和导纳Y之间的关系写成方程1的形式。以阻抗表示的反射系数方程为：

替换

Z

=

1

Y

Z=1Y

 和 

Z

0

=

1

Y

0

，其中Y0是参考导纳，我们得到：

将分子和分母除以Y0，并定义归一化导纳

y

=

Y

Y

0

y=YY0

，给出了方程式2。

方程式2

注意到y是复数（y=g+jb），方程2中的映射函数与方程1中的映射函数相同，除了它乘以-1。由于这种代数变化，通过将阻抗史密斯圆图旋转180°（因为-1=ejπ），可以获得Γ平面中的导纳轮廓。导纳史密斯圆图如图2所示。

图2:导纳史密斯圆图示例

准入史密斯圆图要点

导纳史密斯圆图提供了Γ平面中归一化导纳y=g+jb的图，其中g和b分别表示y的电导和电纳。请注意，由于上述180°旋转，图的上半部分对应于b的负值（或负电纳）。这是有道理的，因为我们知道电感性阻抗出现在阻抗史密斯圆图的上半部分，电感性负载也有负电纳b。另一方面，导纳史密斯圆图下半部分对应于正电纳（或电容性组件）。

图2中的导纳史密斯圆图还显示了短路（z=0，y=∞，Γ=-1）和开路（z=∞，y=0，Γ=1）负载的位置。请注意，短路和开路负载的位置与阻抗史密斯圆图的位置一致。这并不奇怪，因为我们只在Γ平面上绘制了一些导纳轮廓，这显然不会改变短路和开路负载的位置。

上图中的圆圈对应于y平面中的恒定电导线g（见图3）。

图3 史密斯圆图中的圆圈对应于y平面中的恒定电导线

请注意，对于被动负载，|Γ|不能超过1，我们处理的导纳为正电导，g≥0。此外，如图4所示，导纳史密斯圆图中的弧线对应于恒定电纳线。

图4 导纳史密斯圆图中与恒定电纳线对应的电弧的视觉效果

如您所见，较小的圆形和弧形分别对应于较大的电导和电纳值。因此，如果你增加导纳的g或b分量，你将向史密斯圆图中较小的圆和弧移动。

在给定频率下，并联RLC电路具有等效的归一化导纳y=g+jb，因此可以用导纳史密斯圆图上的一个点来表示。如果扫频，导纳的虚部会发生变化，我们可以在史密斯圆图上得到描述电路行为的导纳轮廓。让我们来看一些例子。

导纳史密斯圆图示例

在本节中，您将找到六个不同的示例，这些示例有助于在我们继续学习的过程中建立各种导纳史密斯圆图概念。

示例1：添加并联电容器

当归一化负载导纳为y1=0.2-j0.5时，反射系数为Γ1=0.72∠54.62°（方程式2）。如果我们在这个导纳上加上一个10 pF的并联电容器（C1=10 pF），新的导纳和反射系数是多少？

假设工作频率为222.82 MHz，参考导纳为Y0=20 mS（对应于参考阻抗Z0=50Ω）。负载导纳y1和相关反射系数Γ1如图5所示。

图5 导纳史密斯圆图显示了负载导纳（y1）和相关的反射系数（Γ1）

并联电容器仅影响新导纳的电纳。因此，新的导纳也位于g=0.2的恒定电导圆上。在222.82 MHz下，10 pF电容器的归一化电纳为j0.7：

电容器将初始电纳增加了j0.7，将我们从-j0.5移动到j0.2恒定电纳弧。新的导纳y2位于g=0.2恒定电导圆和b=0.2恒定电纳电弧的交点处，如上图所示。测量从原点到y2的矢量的长度和相位角，我们得到Γ2=0.68∠-23.5°.

如果我们在y2上添加第二个10 pF并联电容器（C2=10 pF），新的导纳y3是多少？新电容器使电纳又增加了0.7。因此，我们最终到达点y3=0.2+j0.9，如下图所示（图6）。

图6导纳史密斯圆图显示，继续添加更多并联电容器会使导纳沿恒定电导圆顺时针移动

上述示例表明，通过继续添加越来越多的并联电容器，总导纳沿恒定电导圆顺时针方向移动。

示例2：扫描并联电容器的值

如果我们将并联电容器CP添加到y1=0.2-j0.5的归一化负载导纳中，并将电容器值从0扫到20pF，史密斯圆图上的总导纳轮廓是什么？

我们可以用前面例子的结果来回答这个问题。首先，用等效电路替换图6的电路原理图，如图7所示。

图7 替换图6中等效电路的示例图

可以看出，通过增加并联电容器的值，总导纳沿恒定电导圆顺时针方向移动。

示例3：添加并联电感器

并联电感器的加入使导纳的电纳分量更负。例如，假设工作频率为222.82 MHz，Y0=20 mS。如果我们将71.42 nH并联电感器添加到y1=0.2-j0.5，归一化电纳分量将变化-j0.5：

这将我们移动到y2=0.2-j，如图8所示。

图8 史密斯圆图显示了添加并联电感器时的偏移

该图还显示了添加另一个并联电感器Lp2=0.5×71.42 nH=35.71 nH如何将归一化电纳降低j1，产生0.2-j2的等效归一化导纳。可以看出，添加越来越多的串联电感器使我们沿着逆时针方向的恒定电导圆移动。如果我们用等效电路替换图8的电路原理图，我们得到以下等效图（图9）。

图9 示例图显示了添加更多电感器并用等效电路替换图8的电路原理图

上图显示，如果我们减小并联电感器的值，总导纳将沿着相应的恒定电导圆逆时针移动。

示例4：并联RC网络的频率扫描

接下来，让我们看看并联RC电路的导纳如何随频率变化。假设R=25Ω，C=10pF，Y0=20mS。该并联RC电路的归一化导纳为：

归一化导纳的实部为g=2。因此，该电路的导纳在g=2的恒定电导圆上，电纳始终为正。当频率从直流扫到无穷大时，x从0变为+∞。因此，无论电容器的值如何，导纳轨迹都包括g=2恒定电导圆的下半部分。

请注意，由于b随频率从0变为+∞，因此随着频率的增加，我们沿着圆顺时针移动。图10曲线中的青色曲线显示了史密斯圆图上的导纳轨迹。

图10史密斯圆图上的导纳轨迹

示例5：并行RL网络的频率扫描

如果我们将频率从直流扫到无穷大，R=25Ω和L=30nH的并联RL电路的导纳轮廓是什么？

当Y0=20mS时，该RL网络的导纳位于g=2的恒定电导圆上。电敏感组件是

b

=

−

1

L

ω

Y

0

b=−1LωY0

,，它总是负数。当频率从直流扫到无穷大时，b从-∞变为0。因此，无论电感器的值如何，导纳轨迹都包括g=2恒定电导圆的上半部分，如图11所示。

图11 史密斯圆图显示导纳轨迹，包括g=2的上半部分

请注意，由于b随频率从-∞变为0，因此随着频率的增加，我们沿着圆顺时针移动。

示例6:并行RLC网络的频率扫描

最后一个问题是，如果我们将频率从直流扫到无穷大，R=25Ω，L=20nH，C=2pF的并联RLC电路的导纳轮廓是什么？

当Y0=20mS时，该并联RLC网络的导纳位于g=2的恒定电导圆上。在谐振频率fr下，电感器的电纳抵消了电容器的电纳，留下了纯电阻导纳。因此，在fr处，我们处于g=2恒定电导圆和史密斯圆图水平对角线的交点处（图12）。

图12 史密斯圆图显示了g=2常数电导和史密斯圆图水平对角线交点处的fr

低于fr，电感性电纳的幅度大于电容性电纳，因此电路是电感性的。这意味着对于0fr，电路是电容性的，我们处于恒定电导圆的下半部分。上述示例表明，随着频率的增加，导纳轮廓始终沿顺时针方向遵循恒定电导圆。

导纳史密斯圆图基础概述

在给定的频率下，并联RLC电路可以用导纳史密斯圆图上的一个点来表示。如果扫频，导纳的虚部会发生变化，我们可以在史密斯圆图上得到描述电路行为的导纳轮廓。熟悉史密斯圆图以识别哪种类型的电路配置可以产生给定的导纳轮廓是很重要的。