相量如何帮助我们理解带通信号

使用相量，我们探索了在射频通信系统中使用的模型中，如何将实值带通信号表示为复基带信号。

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带通信号和系统在通信系统中至关重要。有趣的是，实值带通信号所携带的所有信息都包含在一个对应的复值基带信号中。这种复基带表示法对于理解无线电通信系统极为有帮助。

在本文中，我们将学习带通信号的复基带表示法。作为讨论的一部分，我们还将探讨交流电路中的相量分析概念。然而，在深入探讨之前，让我们先复习一下低通信号和带通信号的定义，确保我们掌握了基础知识。

低通信号和带通信号

当信号的频率内容或频谱以零频率为中心时，该信号被称为低通信号。换句话说，低通信号具有一个明确的带宽B，并且对于∣f∣>B的频率，其频谱含量可以忽略不计。

图1展示了低通信号的实部和虚部。

图1. 带宽为 B的实值低通信号的实部（a）和虚部（b）。

请注意，如果s(t)是一个实值函数，其傅里叶变换S(f)将表现出共轭对称性。这意味着S(f)的实部是一个偶函数，而虚部是一个奇函数。

另一方面，带通信号的频谱以一个频率fc为中心，而该频率远大于信号带宽B。图2展示了带通信号的实部和虚部。

图2. 中心频率为 fc、带宽为B的实值带通信号的频谱，分为实部（a）和虚部（b）。

与图1中的基带频谱类似，图2也因信号为实值而表现出共轭对称性。

实信号的带宽定义为信号中包含的所有正频率分量的跨度。如果信号中最高的和最低的正频率分别是fmax和fmin，那么信号的带宽为：

B=fmax−fmin

根据上述定义，单频正弦波（频率为fc，幅度为A）的带宽为零。

s(t)=Acos(ωct+θ)

然而，如果A随时间缓慢变化，那么我们得到的是一个具有非零带宽的调幅（AM）波。

交流电路中的相量表示

相量是一个复数，用于表示正弦波形的幅度和相位角。在交流电路分析中，相量用于分析与频率相关的效应。

例如，考虑公式2中所示的单频正弦波。这个信号是一个复函数的实部：

s(t)=Re{[Aejθ]ejωct}

其中，操作符Re{⋅}表示大括号内量的实部。我们可以将大括号内的项表示为复平面上的一个向量，其幅度为A，初始相位为θ。如图3所示，这个信号以角速度 ωc=2πfc绕原点旋转。

单频正弦波的相量表示

图3. 单频正弦波的相量表示。

该向量在实轴上的投影（即其实部）产生了公式2中所示的原始信号。角项 ωct表示以每秒fc转的速度进行稳定的逆时针旋转。为了获得信号的简化表示，我们将暂时忽略这一项。

移除旋转后，得到一个固定的向量，对应于公式3中括号内的项。这个与时间无关的项是与我们信号相关的相量。它由以下公式给出：

s~=Aejθ

要理解相量表示的意义，可以考虑一个由正弦输入激励的线性时不变（LTI）系统。如图4所示，这种激励在电路的所有节点上产生正弦信号。尽管所有这些信号的频率相同，但它们的幅度和相位可能不同。

LTI电路产生的正弦信号可以用相量表示，这些相量具有不同的幅度和初始相位，但以相同的角速度旋转

图4. LTI电路产生的正弦信号可以用相量表示，这些相量具有不同的幅度和初始相位，但以相同的角速度旋转。

由于所有这些向量以相同的角速度旋转，它们之间的相位差不会随时间改变。这些向量的幅度比也与时间无关。因此，我们可以在特定时刻冻结这些旋转的向量。

从电压和电流量中移除时间依赖性，使我们能够将它们表示为复数值、与时间无关的数。这大大简化了电路分析。一旦我们计算出某个电压或电流量的向量，就可以重新引入旋转部分，以确定该量的实际时域表达式。

简而言之，相量消除了时间依赖性的复杂性，使描述电压和电流量变得更加容易。通俗地说，你可以将相量视为单频正弦波的低通或直流等效物。

推导调制带通信号的低通信号等效形式

到目前为止，我们假设正弦波的幅度和相位是固定的。然而，类似的分析也可以应用于频率为fc的正弦波，其幅度和相位随时间缓慢变化。设以fc为中心的调制波定义为：

sRF(t)=A(t)cos(ωct+θ(t))

其中，A(t) 和 θ(t) 是时变信号的瞬时幅度和相位。上述公式可以改写为：

sRF(t)=Re{[A(t)ejθ(t)]ejωct}

公式7将括号内的项分离出来：

sl(t)=A(t)ejθ(t)

这个项就是带通信号的复基带表示。上述公式也可以用笛卡尔形式表示：

sl(t)=si(t)+jsq(t)

其中，si(t)和sq(t)是等效基带信号sl(t)的实值同相分量和正交分量。这些分量由以下公式给出：

si(t)=A(t)cos(θ)和sq(t)=A(t)sin(θ)

由于带通信号的同相分量和正交分量变化缓慢，我们知道它们都是低通信号。将sl(t)的笛卡尔形式代入公式6，我们可以用其同相分量和正交分量表示原始的射频信号：

sRF(t)=si(t)cos(ωct)−sq(t)sin(ωct)

上述公式表明，带通信号可以用两个低通信号表示，即其同相分量和正交分量。

等效低通信号：可视化表示

带通信号的复低通表示可以看作是一个时变相量，其起点位于(sI−sQ)复平面的原点。这在图5中进行了说明。

图5. 等效基带信号 sl(t)作为(sI−sQ)平面上的时变相量。

由于同相分量和正交分量（分别为si(t)和sq(t)）是时间的函数，因此相量的末端在(sI−sQ)平面上移动。

从公式6可以看出，等效基带信号 sl(t)乘以复指数ejωct产生带通信号sRF(t)。因此，向量sl(t)以及(sI−sQ)平面以角速度ωc=2πfc旋转。

图6. 包含旋转部分的复平面上的时变相量。

原始的带通信号sRF(t)是这个时变相量在表示实轴的固定线上的投影。

重建带通信号

公式10立即告诉我们如何从同相分量和正交分量重建带通信号。从低通到带通的转换电路如图7所示。

图7. 从低通同相和正交信号生成带通信号的框图。

接下来，我们需要从带通信号中确定等效基带信号。我们首先将sRF(t)乘以2cos(ωct)：

sRF(t)×2cos(ωct)=A(t)cos(ωct+θ(t))×2cos(ωct)=A(t)[cos(2ωct+θ(t))+cos(θ(t))]

如果我们滤除两倍载波频率的信号分量，我们得到：

Lowpass[sRF(t)×2cos(ωct)]=A(t)cos(θ(t))=si(t)

类似地，将sRF(t)乘以−2sin(ωct)产生：

sRF(t)×(−2sin(ωct))=A(t)cos(ωct+θ(t))×(−2sin(ωct))=−A(t)[sin(2ωct+θ(t))−sin(θ(t))]

应用适当的低通滤波器可以消除两倍载波频率的信号分量，得到：

Lowpass[sRF(t)×(−2sin(ωct))]=A(t)sin(θ(t))=sq(t)

图8展示了如何使用一对乘法器和一对低通滤波器实现公式12和公式14。

图8. 从带通信号生成低通同相和正交信号的框图。

总结

实值带通信号中的所有信息都包含在一个对应的复值基带信号中。在本文中，我们学习了如何推导带通信号的低通信号等效形式，反之亦然。

值得注意的是，扩展这一讨论可以让我们用复低通滤波器来表示带通滤波器。为带通信号和滤波器都建立低通模型具有极其重要的实际意义。例如，现代通信收发器应用这些模型来数字处理复基带信号，从而减少了对带通信号的模拟处理需求。

图7和图8中所示的电路对于理解线性调制方案至关重要，无论它们是模拟的还是数字的。在下一篇文章中，我们将看到Weaver调制器如何利用这些电路生成单边带调幅信号。