数学家发现一种自然界常见新形状

自然界的“软单元格”。

本报讯 数学家发现了一种新的形状。从鹦鹉螺标志性的螺旋壳腔室，到种子长成植物的方式，这种形状在自然界中很常见。相关论文近日发表于PNAS Nexus。

这项工作考虑了“密铺”这一数学概念，即形状如何在表面上镶嵌。自古以来，用相同的图形填充一个平面的问题得到了充分探索，以至于人们很容易地认为已经没有什么可发现的了。但是，研究人员用一组具有圆角的新几何图形推导出了密铺原理，并将其称为“软单元格”。

“以前没有人这样做过。”未参与这项工作的美国国家数学博物馆数学家Chaim Goodman-Strauss说，“有这么多基本的事情需要考虑，真是令人惊讶。”

几千年来，人们已经知道，只有某些类型的多边形瓷砖，如正方形或六边形，可以拼接在一起，无缝填充二维空间。自20世纪80年代发现名为准晶体的非周期性结构以来，填充空间而无须规则重复排列的密铺，如彭罗斯密铺，逐渐引起了人们的兴趣。去年，Goodman-Strauss和同事宣布发现了第一个只使用单一瓷砖形状的准周期密铺，它没有任何真正的周期性。

在新的研究中，匈牙利布达佩斯技术与经济大学数学家Gábor Domokos和同事重新研究了周期性多边形密铺，并考虑了当一些角变圆时会发生什么。在二维空间中，并非所有的角都可以圆润而不留下缝隙。但当一些角变为“尖形”时，填充空间的密铺就成为可能。这些角的内角为零——其边缘像泪滴一样切线相交，并紧贴着圆角。

Domokos和同事设计了一种算法，可以将几何瓷砖——二维多边形或三维多面体，如泡沫的气泡，平滑地转换为“软单元格”，并探索了在这些规则下可能的形状范围。结果显示，在二维中，选择相当有限，所有图形必须至少有两个尖点状角。但在三维中，柔软度的引入会带来一些惊喜，特别是这些“软单元格”可以在完全没有任何角的情况下填充体积空间。

Domokos认为，对于任何给定的初始多面体密铺，都有一种独特的密铺具有最大可能的柔软度。他还怀疑，在真实材料中，这个最优解将使某些物理量最大化，例如边缘弯曲能或界面张力等。他承认研究团队目前还没有证据证明这个最大柔软度的猜想，但希望“某个更聪明的人会发现并证明它”。

研究人员在自然界中也发现了“软单元格”，包括辫状河流中岛屿的二维形状、洋葱同心层的横截面和组织中的生物细胞，以及鹦鹉螺等软体动物螺旋壳的三维结构。他们认为，大自然通常会力求避免拐角，因为这类扭曲的变形能量成本很高，并可能是结构弱点的来源。

Domokos说，研究鹦鹉螺“是这项工作的转折点”。在横截面上，其腔室看起来像有两个角的二维“软单元格”。但论文共同作者、布达佩斯技术与经济大学的Krisztina Regos怀疑实际的三维腔室根本没有角。“这听起来令人难以置信。”Domokos说，“但后来我们发现她是对的。”

Goodman-Strauss认为，这项工作提供了一种“结构的描述性语言”，但可能尚未揭示自然界形成此类结构的新的物理原理。比如，要理解河岸，可能仍然需要从基本原理出发考虑最初的物理过程，比如水流、泥沙输送和侵蚀的作用等。（文乐乐）

相关论文信息：

https://doi.org/10.1093/pnasnexus/pgae311