标准方差和VaR掩盖了小概率深度亏损， 而小概率事件可能非常可怕。 美国长期资本公司破产、次贷危机、中信泰富和深南电因为累积看跌期权Accumulator产生巨亏， 都是因为忽视了小概率深度亏损。

　　基于复利准则的投资组合理论(以下简称G理论)

　　早在1997年，我的专著《投资组合的熵理论和信息价值-兼谈股票期货等风险控制》正好包含了《财富公式》所缺少的技术细节。在此与读者分享。

　　复利通俗说来就是利滚利的利率，学术上叫几何平均收益。比如100元10年后变成1100元，单利或算术平均收益是(1100-100)/10=100%， 但是复利或几何平均收益x由下式确定：(1＋x)10=1100/100。由此解得x=27%。几何平均收益反映长期累积增值， 但是算术平均收益不能反映。比如有两个证券， 一个每年增值25%； 另一个一年增值100%， 下一年又亏损50%， 反复如此(长期不赚钱)。虽然后一个证券的算术平均收益也是25%，但是其几何平均收益是零，所以其投资价值差远了。

　　对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比Rg＝1＋G(G是几何平均收益)随下注比例q的变化是其中P1和P2分别是亏损和赢利的概率。数学分析表明，q = 0.25时，几何平均收益Rg达最大。这就是说，对于上面的掷硬币打赌，25%是最优投资比例。

　　算术平均收益E和投资比例q成正比关系；而几何平均收益G不是，q太大反而不好，如果q>0.5则从长远看必然亏损。可见复利准则对头寸和杠杆的限制很严。

　　上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，赢亏幅度是给定的(-1和2)。 如果硬币是弯的，P1和P2皆不等于0.5, 并且亏损和赢利的幅度也是变的(为r1<0和r2>0)， 这时几何平均产出比等于令Rg对q的导数等于0,可以求出最优投资比例是如果令r1=1(即亏了输掉全部下注资金)，则上面公式就变成著名的凯利公式：

　　对于更一般的投资组合。几何平均产出比变为其中qk是不同证券上的投资比例， i表示一组证券的价格矢量的序号， Rik表示第i个价格矢量发生时，第k种证券的收益。我们记为增值熵，求使H达最大的一组q0, q1, q2, ...... 这组投资比例就是最优组合。

　　和马科维茨理论一致的是，G理论也强调分散投资降低风险， 特别是利用不同证券之间的反相关性质降低风险。但是不同的是：1) G理论把复利或长期累积增值幅度当作客观标准，而马科维茨理论不然。2)G理论要求我们预测最大可能亏损幅度和相应的概率，它力图避免深度亏损和破产； 而马科维茨理论忽视偶然的深度亏损。

　　用破产风险测度取代流行的风险测度VaR

　　流行的风险测度是VaR，其含义是：在未来某时段内，一个投资组合在多大可能(置信度)的情况下，价值损失不超过多少(VaR值)。比如，一个基金在95%的情况下，一天损失不超过100万元。VaR测度的问题是：

　　1)在另外5%的情况下(以置信度95%为例)，亏损最多达到多少？VaR测度并不提供。

　　2)VaR是根据过去数据统计得到的，而过去不表示未来。过去见到的天鹅都是白的，不表明不会出现黑天鹅。2008年的经济危机就前所未有。

　　为此， 我建议用勾股弦公式定义风险F—它反映收益的波动性和亏损深度。再用f=F/(1+E)定义破产风险， 它在0和1之间变化。当G＝E时，F＝0， 破产风险f＝0； 当G≤-1时(只要有一个价格矢量使得组合亏损超过100%， 那么不管它发生的概率多么小，都会有G≤-1)，破产风险f=1。有趣的是f和通信理论中的信噪比很相似。

　　由于高杠杆交易流行，一个组合的可能亏损可能很深，虽然它发生的概率很小，但是一旦发生， 破坏力极大， 所以不能不防。破产风险测度f将告诉我们一个投资组合离破产有多远。限定f在某个范围，比如f<0.3, 便是把投资风险控制在适当范围内。

　　资料：“财富公式”是指美国著名物理学家约翰.凯利在1956年提出的一个数学公式，被称为“凯利公式”。它证明了在通信噪音干扰理论中使用的数学模型，同样适用于投资者对于风险和收益的管理。

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