在这篇文章中，我们将使用相量图来比较窄带调频和传统调幅。我们还将讨论振荡器相位噪声的问题，并通过一个示例问题来解决。
本系列的前一篇文章向我们介绍了窄带角度调制：以低调制指数为特征的频率调制（FM）和相位调制（PM）。在本文中，我们将深入研究单频调制输入的窄带角度调制。由于其更好的噪声性能，我们将主要关注调频。然而，一旦我们完成了这部分讨论，我们还将花一些时间研究相位噪声形式的窄带调频。
窄带角度调制信号综述
让我们首先回顾一下我们在前面的文章中学到的东西。具有恒定幅度的角度调制信号可以用以下方程表示：
方程式1其中：
Ac是载波振幅
fc是载波频率
t是时间
ϕ（t）是相位偏差。
方程式2和3分别显示了PM和FM方案中ϕ（t）与消息信号之间的关系：
方程式2
方程式3其中：
m（t）是消息信号
kp是比例常数
kf是相位偏差常数。
窄带调频是指|ϕ（t）|远小于1弧度的特殊情况。在这种情况下，方程式1可以近似为：
方程式4正如我们在上一篇文章中所了解到的，窄带PM和FM方案占用的最大带宽是消息带宽的两倍。双边带调幅（AM）方案也是如此。
单频调制输入的窄带调频
考虑与以下消息信号对应的窄带FM波：
方程式5应用方程式3，发现ϕ（t）为：
方程式6通过结合方程4和6，我们得到调制信号：
方程式7使用标准三角恒等式，可以将其改写为：
方程式8上述方程中的第一项在±fc处产生两个脉冲，这意味着载波存在于输出频谱中。方括号内的术语在以下所有频率下产生脉冲：
fc+fm
–（fc+fm）
fc–fm
–（fc–fm）
输出频谱如图1（b）所示。
单频调制输入（a）和相应的窄带FM信号（b）的频谱。
图1 单频调制输入（a）和相应的窄带FM信号（b）的频谱窄带调频与传统调幅
让我们看看上述频谱与传统AM信号的频谱相比如何。回想一下，传统AM是使用以下方程式生成的：
方程式9您可以很容易地验证对应于m（t）=Amcos（2πfmt）的传统AM波具有图2（b）所示的频谱。
单频调制输入（a）和相应的常规AM信号（b）的频谱。
图2 单频调制输入（a）和相应的常规AM信号（b）的频谱比较图1和图2，我们可以看到窄带调频和传统调幅都产生了相同的频率分量。然而，这些组件之间的相位关系是不同的。使用FM时，±（fc–FM）处的下边带相位符号相对于上边带反转
为了更好地理解这一点，让我们比较两种调制方案的相量图。图3（a）显示了传统AM产生的三个频率分量的相量图；图3（b）为窄带调频提供了相同的信息。
传统AM（a）和窄带FM（b）方案的相量图。
图3 传统AM（a）和窄带FM（b）方案的相量图在AM和窄带FM中，边带相量以消息信号频率的速率沿相反方向旋转。在AM中，边带以这样的方式旋转，即合成矢量始终与载波对齐。因此，边带的存在仅改变调制信号的幅度。
然而，对于窄带调频，两个边带矢量之和产生一个垂直于载波的矢量。这个垂直分量产生频率（和相位）调制，而不是幅度调制。
最后，根据图3，人们可能会认为整个FM信号的幅度不是恒定的。根据相量图，FM边带矢量的旋转导致合成矢量的幅度变化，从而导致整个FM信号的变化。事实上，这种明显的矛盾源于我们推导方程4的近似值。如果没有任何近似值，总矢量和的幅度将完全恒定。
示例：FM和AM组合调制
有时，当瞄准AM调制时，电路缺陷可能会导致窄带FM和AM的混合。这在频谱分析仪上显示为振幅不等的两个边带。因为AM和窄带FM的下边带具有相反的符号，所以下边带的幅度较小。这种类型的输出频谱如图4所示。
窄带调频和调幅共同影响产生的不相等边带。
图4 窄带调频和调幅共同影响产生的不相等边带利用我们迄今为止所学到的知识，让我们找到AM信号的调制指数（μ）。我们假设这个频谱是由m（t）=cos（2πfmt）的单个频率输入生成的。
我们不会深入研究数学细节，但通过一些近似，我们还可以假设窄带FM和传统AM的边带同时存在。使用图1和图2中提供的信息，我们得到了组合下边带的振幅：
方程式10请注意，由于预期的调制是AM，因此假设FM边带的影响较小。
对于上边带，我们有：
方程式11通过将方程式10和11相加，我们得到：
方程式12请注意，载波分量的振幅为Ac/2=1。此外，当输入为m（t）=cos（2πfmt）时，我们得到Am=1。将这些值代入方程式12中，得到μ=0.8或80%的AM调制指数。
了解振荡器相位噪声
上面，我们讨论了一个无意中发生窄带调频的情况。在我们结束这篇文章之前，让我们了解一下无意的窄带相位调制（PM）。
这种现象被称为相位噪声，通常发生在振荡器等电路中。方程13描述了理想振荡器的输出，它是完全周期性的：
方程式13在这种理想情况下，波形的过零点出现在2π/ωc的精确整数倍处。然而，在现实中，有确定性和随机性因素会改变过零点。确定性因素包括（但不限于）：
温度波动。
电源电压变化。
物理振动。
湿度变化。
附近的磁场。
随机因素是振荡器电路内扰乱过零点的电噪声源。为了考虑这些扰动，可以将振子方程修改为：
方程式14其中ϕn（t），称为相位噪声，是一个小的随机值。
请注意，上述方程与相位调制的定义相匹配。假设|ϕn（t）|远小于1弧度，我们可以将窄带角度调制讨论中的见解应用于相位噪声现象。例如，考虑到PM和FM方案之间的密切关系，方程14意味着振荡频率略微偏离其理想值。
此外，对于|ϕn（t）|≪1，vosc（t）的频谱包括fc处的冲激函数和转换为fc中心频率的981'n（t）频谱的副本。图5提供了一个说明性但可能不切实际的例子，显示了如何将ϕn（t）的频谱副本转换为fc的中心频率。
相位噪声（a）和振荡器输出（b）的频谱。
图5 （a）ϕn（t）的频谱和（b）振荡器输出的频谱上图5（a）显示了ϕn（t）的光谱。图5（b）描绘了假设满足窄带条件时振荡器输出的频谱。图6展示了一个更为真实的振荡器频谱示例。
振荡器频谱的一个更现实的例子。
图6振荡器频谱的一个更现实的例子请注意，不显示载波电平。相反，使用单位dBc，表示噪声水平相对于载波水平归一化。
从我们之前对窄带角度调制的讨论中，我们知道图6中的负斜率代表了ϕn（t）在频域中的行为。如上述示例所示，相位噪声往往变化缓慢，其大部分能量集中在低频。
假设我们使用由噪声振荡器驱动的混频器，如方程14所述的混频器，对角度调制波进行下变频。我们将看到振荡器的相位噪声直接改变了输出信号的信息分量。为了验证相位噪声是否满足窄带条件，我们可以使用测量的振荡器频谱计算ϕn（t）的均方根值（如图6所示）。如果RMS值明显小于1弧度，则可以认为是窄带。
一个未解决的例子：使用窄带调频来理解电路非线性
在这篇文章中，我们比较了单频正弦波的FM和AM调制。我们观察到，在AM和窄带FM中，边带相对于载波的角旋转是不同的。最后，我想举一个B.Razavi的“RF Microelectronics”中的有趣例子，供您自己解决。
问题始于图7中的差速器对。该电路充当硬限制器。
一种用作硬限幅器的差分对放大器，在任何给定时间产生两种可能的输出电平之一。
图7 一种用作硬限幅器的差分对放大器，在任何给定时间产生两种可能的输出电平之一施加到电路的输入由fc处振幅为a的大正弦曲线和fc+fm处振幅为a的小正弦曲线组成。如图8（a）所示。
施加到差分对的输入频谱（a）和输出频谱（b）。
图8 施加到差分对的输入频谱（a）和输出频谱（b）假设A足够大，使差分对充当硬限制器，从而在任何给定时间产生两个不同的输出电平。换句话说，A足够大，可以在任何给定时间将国际空间站完全引导到差分对的一个分支。解释为什么输出频谱应由fc和fc±fm的三个分量组成，边带显示相反的符号，如图8（b）所示。
提示：请注意，输入可以表示为AM波和FM波的组合。此外，考虑硬限幅器如何响应每种类型的AM和FM信号。
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