史密斯圆图及其与反射系数和阻抗的关系|史密斯_新浪科技

了解史密斯圆图的历史和来龙去脉，以及它与反射系数的关系，使计算阻抗更容易。

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史密斯圆图是一种图形化的射频设计工具，它使我们能够轻松计算将给定阻抗转换为另一个阻抗所需的阻抗匹配网络的组件。

早在20世纪30年代，史密斯圆图就是高频工作的主要工具。史密斯圆图是电气工程师菲利普·哈格·史密斯的发明。在当今的计算机中，这种图形工具作为计算辅助工具的相关性可能已经降低；然而，它仍然是直观可视化RF电路不同参数的有用工具。以至于所有射频电路和系统模拟器以及测量设备，如网络分析仪，都可以直接在史密斯圆图上显示其输出。考虑到其广泛使用，有必要对史密斯圆图有深入的了解，以便能够使用不同的射频模拟器和测量设备。

史密斯圆图对于通过手工计算设计阻抗匹配网络也非常有帮助。使用史密斯圆图设计阻抗匹配网络是快速、直观的，在实践中通常足够准确。

史密斯圆图上的反射系数：一个性能良好的参数

史密斯圆图基本上是反射系数的极坐标图（以及我们稍后将讨论的一些其他图）。考虑到史密斯圆图的广泛传播，您可能会正确地猜测反射系数参数在基于射频的工作中至关重要。使用低频电路的模拟设计人员通常使用阻抗概念来分析和建模他们的电路。当频率超过几百兆赫时，阻抗的概念在一定程度上失去了用处。在较高频率下，反射系数的概念可能更有用。

为了更好地理解反射系数的独特特征，请考虑图1中的图表，该图表显示了以任意阻抗ZL终止的传输线。

图1传输线以任意阻抗终止

传输线沿线不同点的输入阻抗由方程1给出：

方程式1

其中Γ在（d）中，距离负载d处的反射系数如方程2所示：

方程式2

在方程2中，β是相位常数，Γ0是常见的负载反射系数，这导致了方程3：

方程式3

方程式3很容易理解；它给出了给定ZL的负载反射系数。例如，如果ZL=50+j50Ω，Z0=50Ω，我们得到Γ0=0.2+j0.4。方程式2显示了反射系数如何沿线变化。如您所见，（d）中Γ的大小是恒定的，等于Γ0的大小（具有上述值的0.447）；然而，其相位角随距负载的距离呈线性变化。

例如，如果βd（称为线路的电气长度）为45°，则（d）中Γ的相位角为Γ0减去90°的相位（63.4°-90°=-26.6°）。图2中的极坐标图显示了如何从Γ0中图形化地获得（d）中的Γ。

图2:使用上述示例和方程的极坐标图示例

可以看出，对于给定的Γ0，沿（d）中Γ线的反射系数位于半径为|Γ0|的圆上。总之，反射系数是一个表现良好的射频参数，因为它的幅度沿线是恒定的，其相位角随线的长度呈线性变化。线路阻抗的情况并非如此。在负载不匹配的情况下，输入阻抗沿线路连续变化。对于|Γ0|=1，输入阻抗的大小可以在零到无穷大之间的任何地方。

高频反射系数——测量的易用性和可靠性

反射系数在高频工作中是一个更具吸引力的参数还有另一个原因。阻抗的概念自然会让我们想到双端口网络表示，如阻抗参数、导纳参数和混合参数。为了通过实验确定这些表示的参数，我们需要断开或短路适当的网络端口。然而，在高频下，很难提供短路和开路条件，特别是在宽频范围内。此外，有源高频电路在端接开路或短路时可能会振荡。

另一方面，反射系数的概念与S参数表示密切相关。使用这种类型的网络表示，网络的适当端口在线路的特性阻抗中终止。例如，下图（图3）测量了两个S参数，即S11（输入反射系数）和S21（从端口1到端口2的透射系数）。

图3显示两个S参数的示例图

S参数相对于其他类型的网络表示的一个主要优点是，在实践中可以实现S参数测量所需的宽带电阻终端。这使我们能够进行准确和可重复的射频测量。

史密斯圆图的发明

1933年，AT&T工程师Philip Smith发明了史密斯圆图，以简化传输线的输入阻抗计算。如上所述，史密斯圆图是反射系数的极坐标图。然而，在那些日子里，工程师们习惯于使用阻抗概念；反射系数图对他们没有多大意义。

首先，我们设定了一个背景来认识史密斯发明的意义。S参数是由K.Kurokawa在20世纪60年代引入的。在史密斯圆图发明30多年后的20世纪60年代，也引入了使用S参数将RF分量表征到千兆赫区域的网络分析仪。Smith至少认识到了反射系数相对于阻抗的一些优点，并决定使用Γ概念来解决他所涉及的问题。为了能够与其他工程师就阻抗参数的熟悉术语进行交流，Smith还决定包括一些阻抗图，以便很容易地找到给定反射系数的等效阻抗，反之亦然。通过绘制Γ平面中恒定电阻和电抗的轮廓，创建了熟悉的史密斯圆图（图4）。

图4史密斯圆图示例

在大多数史密斯圆图中，Γ平面的实轴和虚轴没有显示，因为真的不需要显式显示它们。这给我们留下了一些分别对应于恒定电阻和电抗轮廓的圆和弧。让我们看看这些轮廓是如何获得的，以及我们如何解释它们。

史密斯圆图归一化阻抗

史密斯圆图基于Γ0和阻抗之间的关系（方程3）。值得注意的是，方程式3描述了这两个参数之间的一对一关系，因此知道一个参数就等于知道另一个参数。此外，史密斯圆图是使用如下定义的归一化阻抗绘制的：

方程式4

其中r和x是归一化阻抗的实部和虚部。绘制归一化阻抗使我们能够对具有不同参考阻抗的系统使用相同的图表。然而，我们需要记住，我们从图表中读取的阻抗应该乘以Z0，以找到我们系统的实际阻抗值。此外，请注意，使用归一化阻抗不会改变Γ0方程。为了用归一化阻抗表示Γ0，我们将方程3的分子和分母都除以Z0，这显然不会改变方程。Γ0方程以z表示如下：

方程式5

因此，虽然史密斯圆图上显示的阻抗是归一化的，但反射系数不是。方程5是确定给定z如何产生其相应Γ的映射函数。这个方程实际上是双线性变换。这个名字源于它是两个线性函数的比值。双线性变换将圆映射为圆。记住，对于数学家来说，直线也是圆的特例。

恒定电阻圈

作为双线性变换，方程5将常数r（或具有常数实部的阻抗）的线映射到Γ平面中的圆。例如，线z=0+jx被变换为以Γ平面原点为中心的半径为1的圆（见图5中的蓝线和蓝圆）。

图5双线性变换示例

类似地，该变换将线z=1+jx映射到以u=0.5和v=0为中心的半径为0.5的圆。一般来说，可以证明具有常数r的阻抗被转换为半径为

1r+1

中心在

u=rr+1

and v = 0

恒定电抗循环

对于某些x值，阻抗与恒定电抗的映射如图6所示。

图6阻抗与恒定电抗的示例映

同样，方程5的双线性变换将常数x的线（或具有常数虚部的阻抗）映射到Γ平面中的圆。请注意，上图中仅显示了这些圆中位于单位圆内的部分。当使用被动载荷时，|Γ|不能超过单位。这意味着阻抗在单位圆内具有r≥0的映射。这就是为什么在处理史密斯圆图时，我们通常对单位圆内的区域感兴趣。只有一部分恒定电抗圆落在单位圆内，因此，这些曲线看起来像一些弧形而不是完整的圆。

一般来说，具有常数x的阻抗被转换为半径为

以u=1为中心

史密斯圆图是反射系数与上述恒定电阻和电抗轮廓叠加的极坐标图（上图4）。

在下一篇文章中，我们将通过史密斯圆图查看阻抗计算的几个不同示例