指数追踪 指数增强与市场中性策略

　　联合证券 宋曦

　　本文主要试图利用协整方法对进行了指数跟踪、指数增强和多头/空头的市场中性投资策略，试图找到适合不同投资者的投资策略。

　　从国外指数型基金的迅速发展的历史来看，整体而言，主动管理型基金并不比指数基金更优秀，投资者倾向于选择指数型基金往往基于赌徒的心理。指数型基金在美国已经成为最为重要的投资手段。

　　传统的优化方法进行指数追踪具有：信息漏损、组合不稳定和对样本非常敏感等缺陷，因此，诺贝尔经济学奖成果之一的协整方法能够克服这些缺陷并在指数跟踪中得到运用。

　　在指数追踪，我们稍加扩展，就可以利用协整的追踪潜力去跟踪某增强型指数，该指数为超越标的指数预设alpha的人造指数。

　　在增强型指数跟踪基础上，我们能够通过买入优势组合(超越指数表现)和卖空劣势组合(落后大盘表现)来构建市场中性的投资策略，该策略曾经在美国2000年后曾经风靡一时。而该策略的收益由多头和空头组合的收益差决定的。

　　我们通过对上证50指数进行了指数追踪，增强型指数投资和市场中性策略，均获得了较为理想的结果。我们运用20只

股票进行上证50指数的跟踪获得良好的效果，而利用10只股票建立增强型指数的头寸也确能捕捉到一个稳定的alpha，基于上证50指数的市场中性策略也能获得一个高于无风险利率的投资收益。

　　本研究可以继续拓展的地方：第一，加入选股思路；第二，对于调整频率的更改；第三，进行市场中性策略时，采用更多的股票进入组合。

　　下一步的研究将着力于研究alpha转移，即如何将统计套利中获得的alpha如何转移到其他组合上，以及利用除协整外的其他一些方法进行统计套利。

　　我们在第一篇报告中，推出了统计套利的含义以及如何运用协整方法建立成对交易的投资策略，通过我们简单的实证研究，取得了良好的实际投资结果。本文中我们试图用统计套利的方法建立被动型的投资组合，用来追踪某一标的指数或者增强型的标的指数。

　　一、指数投资的魅力

　　在主动(active)管理型与被动(passive)管理型基金上做出选择是一直是困扰投资者的重要问题，从美国90年代大牛市中，我们似乎能寻找到部分答案，美国的投资者发现，在这期间通过主动投资要战胜市场平均水平的代表——S&P500指数异常困难，因为牛市是以大盘股为带动的，而这些大盘股则是市场指数的主要权重股，据统计28只大盘股占据了S&P500指数一半以上的权重。据美国著名的机构投资者杂志——Barron统计了1977年~1997年全年的共同基金跑赢了S&P500的相对比例。

　　从目前完善资本市场所体现出来的规律来说，大部分主动管理的基金都跑不过大盘，但是仍然吸引了更多的资金，这显然是一个悖论。引用一句话来解释：“当购买一个主动管理型基金，我们就像在Las Vegas赌博。虽然知道它有可能会输(给大盘)，但会感到使我们的钱体现了价值(getting our money’s worth)。”这句来自于华尔街日报的话体现了投资者和赌徒试图去使收入最大化过程中的相关行为所体现的心理状态。从经济意义角度来看，大部分投资者将资金集中于主动管理型的基金并不理性，特别是如果考虑到标的指数的定义及其作为投资业绩考量时的意义。

　　Sharpe(1991)指出：平均来讲，主动管理型基金业绩不可能超过被动管理型基金，原因在于股票指数的表现就是二者包括成本在内的投资收益的加权平均。因此，可以认为主动管理是一种零和博弈。因此，被动管理型基金在牛市的长跑中体现了其优势，并迅速发展起来。

　　从美国1995年至2000年指数基金的数量和规模变化，我们能够明显的感受到指数化投资的力量。据理柏(Lipper)公司报告截至2000年12月指数型基金的投资规模占到了总规模的12%，而据晨星(Morningstar)1995年的统计仅为5%，同时，指数基金的数量也比1995年的两倍还多。美国最大的股票型指数基金为Vanguard公司管理的S&P500指数基金的投资者系列，该基金市值规模超过740亿美金。据标准普尔公司预测，钉住S&P500指数的资产总值超过1万亿美金。

　　指数化投资同样也带动了交易所交易基金(ETFs)的显著增长，自从1993年第一个ETF——SPDR(the Standard&Poor’s 500 Depository Receipt)诞生起，ETF的总体资产在2005年底达到了2,465亿美元。

　　同时，指数化也被作为机构投资者的重要投资手段，在2004年，单纯的指数投资占据了1,000家最大年金投资资产的8,730亿美金，相当于其5.35万亿总资产的16%以上。如果包括指数增强产品上述数字将超过1万亿美金，即20%以上的总资产配置占比。

　　二、指数追踪相关技术性问题

　　指数追踪(Indexing)是指通过利用一个的股票组合复制某一现实指数或者虚拟指数的市场表现，来获取与指数相近的收益，试图最小化跟踪误差。通常来说，一般的指数追踪技术关注于最小化跟踪误差的方差，并考虑组合收益与标的指数收益的相关性，或者是组合调整(re-balancing)的交易成本最小化。

　　虽然从理论和目的来看，指数化投资策略非常简单和易懂，对于指数型基金经理而言最大的困难在于如何完全复制目标指数的收益，另外一个麻烦是如何将不可避免的追踪误差(tracking error)最小化。

　　从理论上讲，如果采用完全复制的策略应该不会存在追踪误差，但是实际中并非如此，例如，当标的指数的构成发生变化时，该指数假设所有股票的在理论组合中权重能够自动实现。然而，指数基金经理并不能这样假设，他们需要对股票的权重进行现实调整以达到模拟指数的目的。

　　根据，Chiang(1998)的研究发现了指数基金的追踪误差来源于以下几个方面：

　　交易成本，基金现金流，指数对分红的处理，公司行为和指数成分的变化。Keim(1999)认为标的指数的流动性也同样影响了交易成本，因此也影响到追踪误差。

　　对于指数型基金经理来说需要在跟踪误差和交易成本间寻求平衡，一般来说，两者是此消彼涨的关系。

　　1.基于优化方法的指数追踪技术

　　通常的指数追踪技术一般采用优化方法，最为常见的是TEV(追踪误差方差)最小化模型，可以用下面的数学公式表达：

　　而优化方法在被动投资中的缺点比较显著：首先，股票指数是组合内股票的一个线性组合，针对股票指数的追踪误差最小化的包含了许多噪音，依赖于样本数据。

　　并且在高波动的市场中极不稳定；其次，由于采用了相关系数来衡量协同波动(co-movement)，产生了如下的缺点：首先，只能用平稳(stationary)数据，如股票收益率，由于是股票价格的差分序列损失了一些有用信息；其次，只是一个短期的统计量，缺乏稳定性；第三，依赖于估计模型，相关系数易于受到异常值，非平稳序列或是波动率聚集的影响，因此在长期时间序列中可能会得出错误的结论。对金融时间序列中相依性的测度，Embrechts，Lindskog和McNeil(2001)进行了一个全面综述。

　　基于上述缺陷，金融计量学家和金融实践者开始转向协整模型来捕捉长期均衡的相依性，协整是一种异常强大的手段，其最大的贡献在于将相关性的理念推广到非平稳数据。Clive Granger(1966)凭借着在协整理论中的先驱性研究成果，于2003年获得了诺贝尔经济学奖。

　　2.基于协整的经典指数追踪

　　首先，采用协整进行投资组合构建的是Axlander(1999)，在文中第一次用到了股票价格的所有信息，而不是差分序列。基于股票价格同指数之间的协整关系建立投资组合基于如下三点：第一，股票组合和标的指数价格差异是平稳的，因此，追踪组合与标的指数在长期中是紧密关联的；第二，根据较长历史数据计算的组合中的股票权重是相对稳定的；第三，经协整建立的组合，其跟踪误差是均值回复的随机过程，不存在系统性的误差。

　　通过协整建立最优的追踪组合有两个步骤：第一，筛选股票进入追踪组合；第二，依照协整系数建立组合中最优的股票持仓比例。

　　第一个步骤的股票选择可以利用多种方法，例如，选股模型，技术分析或者基金经理的选股技巧。第一步骤非常关键，它将决定后面的协整关系的程度以及追踪组合的绩效。尽管选股很重要，但是在我们的协整指数追踪方法中并不具有任何优势，选择成功的股票并非本方法关注的焦点，我们复制指数的表现或者在保证一定的追踪误差条件下，轻微的超越指数表现，而并非要通过选股来战胜市场，这是本方法的理念。我们这里可以简化的选择在指数中权重较大的股票进入到追踪组合。

　　第二步骤是建立在前一步骤基础上，确定进入追踪组合的持有比例，我们应用协整方法，在组合建立期前的样本内(in-sample)数据，使用对数指数价格对对数股票价格的最小二乘法(OLS)确定协整方程中的系数，如数学公式表示为：

　　除了对估计后的回归系数进行单位化，还可以直接在回归中加入系数等于1的约束。我们还可以加入其他的约束条件，如卖空约束和单只股票最大投资比例等。

　　3.基于协整的增强型指数追踪

　　对于上述简单的指数追踪，我们稍加扩展，就可以利用协整的追踪潜力去跟踪某增强型指数，即在标的指数年收益率基础上加上年超额收益率α%(α> 0)。

　　该投资策略如下实现：构造一个追踪组合，包括部分或者全部的标的指数成份股，该组合与标的指数加上预设的α%具有协整关系。如果存在这样的追踪组合，那么它将跟踪的是一个市场上不存在的“人造指数”(artificial index)的收益和波动，同时，正的超额收益或非正常收益就可以实现。我们下面将提到对于超额收益率α必须要设定合理，不切实际的设定将导致严重的后果。

　　4.基于协整的多头/空头统计套利策略

　　如果能够通过协整方法找到超越市场表现的追踪组合，通过协整也应该能找到低于市场表现的追踪组合。那么通过买入优势组合，而卖空劣势组合，我们可以构建一个市场中性的多头空头投资策略。

　　市场中性的投资策略在美国2000年后，即大牛市结束后非常流行，我们在第一份报告中，曾经详细介绍了市场中性策略以及如何基于协整构建成对交易，在这里我们仅仅是将第一份报告中的单只股票的成对交易变成基于不同股票篮子的成对交易，即买入具有吸引力的一个股票组合，卖出不具有吸引力的股票组合，而投资组合的构建如下：

　　而该组合策略的理念是市场中性，即市场的总体运行趋势不影响到投资策略的收益，而该策略的收益由多头和空头组合的收益差决定的。指数与成分股之间的协整关系的确存在，但是并不能认为适用于追踪人造指数的组合，例如我们可能会想要构建一个组合追踪超越50%的市场表现，很遗憾的是，非常难找到一个合理的协整关系，这将导致追踪组合中股票权重的不稳定性，交易费用的增加以及收益的波动性。要避免上述缺陷就需要保证分别追踪两个人造指数的投资组合通过协整检验。

　　需要注意的是，追踪组合并没有限定股票的权重为正，而实际上我们在劣势组合中很可能将持有一些股票的空头头寸。在基于协整的统计套利组合中，将单个股票的多头和空头相抵消，即净持仓数量。

　　三、上证50指数追踪组合

　　我们以上证50指数为例介绍如何运用协整方法进行跟踪组合的建立，之所以选取上证50指数是由于其代表的是上海

证券交易所50只市值规模大，流动性好的股票，而且基于上证50为标的指数发行的上证50ETF也是流动性最强的ETF，预计未来以上证50指数为标的发行的金融衍生品将日益增多，因此，研究上证50指数的追踪具有实践意义。

　　1.数据的选取

　　本文选取的上证50指数，2004年1月1日至2006年3月30日的日收盘数据，共计781个样本点。比起国外一些经典的指数，上证50指数调整较频繁，而且新调入指数的一些股票缺乏历史交易数据，我们选用最新公布的成分股作为备选的跟踪股票，剔除在2004年1月1日后上市的公司，将原来指数中被新上市公司所替换的公司重新调入指数，保持备选的追踪组合有50只股票，数据选取同样为2004年1月1日至2006年3月30日的收盘价。国外的实证研究他们一般采用最新的成分股进行指数重构，而上证50指数由于包括太多的新股无法重建指数，只能用实际指数。我们选取的50只成分股见附表1。

　　2.组合的构建原则

　　我们选择10只，20只和30只分别进行指数追踪，我们按照在指数中权重大小作为选择股票的主要依据。

　　我们对样本内的校正(calibration)时间段为2年～3.17年，初始的校正组合构建的时间段是2004年1月到2005年12月，然后逐月扩展直到2007年3月：

　　初始组合(P0)构建于2004年1月到2005年12月，模拟出2006年1月的样本外作为第一个跟踪组合(P1)，第二个跟踪组合则构建于2004年1月至2006年1月并模拟2006年2月的样本外组合(P2)，第三个跟踪组合(P3)构建于2004年1月至2006年2月并模拟样本外的2006年3月的组合(P3)，以此类推，我们可以得到15个样本外组合(P1～P15)。

　　4.追踪结果的检验

　　(1)Engle-Granger协整检验：

　　在得到组合后，我们运用传统的ADF检验对每个回归的追踪误差进行单位根检验，追踪踪误差越平稳，标的指数和所构建的追踪组合协整关系也就越强。

　　(2)收益率的检验

　　同时，比较年化收益率，追踪组合的一阶差分即可以得到组合的收益率。并将其余组合的收益率相比较。

　　(3)收益率的波动

　　对于每个追踪组合的收益率，我们运用年化超额收益率(即组合收益率减去指数收益率)，以250个交易日为基准。

　　(4)收益率的相关性

　　我们计算每个跟踪组合同指数的收益率相关性。

　　(5)夏普比率和信息比率

　　我们用最简单的均值-方差框架下的经典统计值来分析跟踪组合的收益特征，比较了跟踪组合与标的指数同期的夏普比率(无风险利率选用一年期银行

存款利率2.52%)和信息比率(=年平均收益/年标准差)。

　　5实证结论

　　我们对上证50指数进行指数追踪，各组合股票的选择及权重变化参见附录1，依次使用10，20和30支股票进行的追踪结果，与上证50的实际收益情况进行了比较，并区分了样本内和样本外进行分别的比较。结果如下：

　　从上述统计来看，所有回归都能够通过ADF检验，即股票组合与指数间存在显著的协整关系。而样本内外追踪组合的绩效分析，我们认为并非股票股票数量越大跟踪绩效越好，反而是20只股票组合的追踪效果最好，无论是样本内，还是样本外数据，都取得最小的跟踪误差和收益率的波动也与指数最为接近。

　　从波动率来看，股票数量越多的组合，其波动率越小，即股票数量的增加使收益率更加稳定。因此，如果按照夏普比率和信息比率来看，无论样本内外的跟踪效果，30只股票的组合取得了最好的跟踪效果，这正式由于波动率的大幅度降低带来的跟踪效果的提高，但是30只股票的追踪组合存在一个重大缺陷，即跟踪误差与指数收益存在显著的负相关关系，因此，尽管能够通过协整检验，但是我们可以认为跟踪误差存在系统性的偏差。

　　而不同跟踪组合与指数的累积收益，我们可以通过下图更加直观比较跟踪组合的绩效。

　　从上面3个图我们可以清楚的观察到，20只股票的追踪组合累积收益曲线无论在整个样本区间，样本内以及样本外均能够最好的拟合指数的表现。而10只股票的组合在指数下跌时(2004.1~2005.12)落后于指数的表现，而在指数上涨时(2006.1~2007.3)表现明显好于标的指数。而30只股票的跟踪组合则正好相反，这表明了这两种组合在追踪上证50指数时，存在系统性的偏差，不适合作为上证50指数的追踪组合。

　　四、增强型上证50指数追踪组合

　　我们考虑运用10只股票的组合对上证50指数进行增强型追踪，首先需要建立增强型的“人造指数”，比如需要构建“上证50+10%”的标的指数，我们需要在每个上证50指数的日收益率加上0.0413%(＝10%/242，一年按照实际交易242日计算)，然后再重新建立指数。

　　选用十只股票的组合来追踪“上证50+10%”，“上证50+20%”，“上证50+25%”和“上证50+30%”。我们还计算了跟踪“上证50+40”的组合，但是虽然能通过ADF检验，但是回归系数很多不显著且波动较大，而且对于某些股票配置比重过大。

　　跟踪组合我们仍然采用逐月调整持仓比例的方法。交易费用仍然按照0.2%收取。

　　从ADF统计量来看，10只股票组合与被跟踪的增强型指数仍然存在协整关系，样本内数据的跟踪效果非常明显，基本上能复制增强型指数的表现，能够带来投资绩效的显著提升，特别是在年华波动率没有明显的变化的基础上带来了收益率的大幅度提高，因此，无论是夏普比率还是信息比率均优于上证50指数。然而，样本外数据的结果让人略感失望，从三个跟踪组合进行比较，只有上证50+20的跟踪组合效果最好，其收益率与目标收益率最为接近，同时夏普比率与信息比率也是三个组合中最高的。其它两个组合：1.而试图超过上证50指数年10%收益的跟踪组合取得了最好的实际投资效果，与目标收益率差别太大，同时波动率较高；2.试图超过上证50指数30%年收益率的跟踪组合是实际投资效果最差，且波动率过高，造成组合风险过大，不适合作建立增强型指数跟踪的投资组合。

　　因此，从上面的增强型指数投资组合的表现，我们可以看到寻找大幅度超越指数表现的头寸组合非常困难，一味追求高alpha的投资组合将带来高组合收益的波动以及较高的交易成本(大幅度调整持仓比例)。因此，合理设置alpha对于组合的构建极为重要。

　　五、多头/空头市场中性投资策略

　　在增强型指数跟踪组合的基础上，我们可以利用增强型指数组合与落后型指数组合构建多头/空头(long/short)市场中性投资策略，即持有跟踪增强型指数组合的多头，同时持有跟踪落后型指数的空头，而实际持仓情况为多头组合和空头组合相加的净头寸。通过对冲掉标的指数(市场组合)表现，组合的投资收益理论上讲与市场整体表现无关，因此，是一种市场中性的投资策略。得到两个组合的收益的差值，而增强型组合具有正的alpha，而落后型组合具有负的alpha，目标收益率应该是两个alpha绝对值的和，因此，也将该策略称为双alpha策略。

　　在本部分我们仍然运用十只股票作为组合，然后建立“上证50-5”，“上证50-10”，“上证50-20”，“上证50+5”，“上证50+10”，“上证50+20”共六个组合，并在此基础上建立九个多头/空头投资策略。同时，我们仍然采用逐月调整持仓比例的方法。交易费用仍然按照0.2%收取。

　　我们通过下表来概述九个组合的实际投资效果。

　　通过样本内的结果发现，由于该投资时段正处于一个熊市阶段，因此我们的投资组合的表现远远超过了大盘表现，无论是绝对收益还是相对收益。有五个组合的夏普比率为1.27，是最大值，远远大于同期标的指数的夏普比率(-0.74)，这四个组合分别是+5%/-20%，+10%/-20%，+20%/-5%和+20%/-10%。

　　从样本外数据来看，由于2006年开始进入到了牛市阶段，市场中性的投资策略没能取得吸引人的业绩，所有的统计套利组合均落后于标的指数的表现，相对于标的指数2.79的夏普比率，夏普比率最高的组合为+5%/-20%，其夏普比率仅为0.63。

　　从与指数收益的相关性来讲，我们的组合均与指数收益相关呈很弱负相关关系，且所有组合与指数相关系数均非常接近。

　　对样本外数据而言，并非价差(组合所跟踪人造指数的alpha的差额)越大收益越好，如+20%/-5%的组合虽然价差高达25%，但是其实际收益仅4.39%，远落后其他价差小的组合。但是价差越大的组合其波动率越大，以增加组合波动为代价来跟踪较大的价差是否值得需要进行事后检验，但是一味追求高价差肯定是不可取的。

　　六、结论

　　首先。我们运用协整方法进行了指数跟踪，与普通的优化方法相比，协整方法运用到了原始价格进行组合构造，因此保留了多的信息，而从指数跟踪的结果来看，无论样本内外的跟踪效果都较好，而组合的头寸配置均比较稳定，因此交易费用较低，从我们实际的结果来看，跟踪组合的交易费用低于1%。

　　其次，在指数追踪的基础上进行指数增强型投资策略，即在保证与标的指数匹配绝大部分的收益和风险，但是试图挖掘跟踪组合的潜力，适当超越指数的表现，获得一个alpha。我们运用协整进行的增强型指数跟踪，并发现追踪指数加上一个合理的alpha是可行的，但并非越高的alpha能够带来实际投资收益的提高，反而可能导致收益降低和风险提高。

　　最后，在上面两种投资策略基础上，我们可以构建市场中性的投资策略，用来跟踪两个人造指数的差额。我们发现无论在熊市还是牛市中，我们的组合与标的指数(即市场)相关性较小，收益比较稳定，追踪小价差的组合往往波动率低于标的指数，而追踪大价差的组合都以增大组合风险为代价。

　　在本研究中可以继续扩展的地方：第一，我们未考虑主动选择股票对组合收益的影响，而仅仅按照权重靠前的股票首先进入追踪组合，实际中可以加入一些选股方法，可能效果会更好；第二，对于调整频率的更改，限于篇幅文中并未对调整频率对投资收益的影响进行比较，按照国外的研究表明，一般而言调整频率降低到3个月或者6个月的实际投资结果较好；第三，在进行增强型指数追踪和市场中性策略中，我们仅用到了10只股票的组合，没有考虑用更多股票的组合，而增加股票数量可能会更好的结果。

　　接下来的研究中，我们将提出如何利用统计套利进行alpha转移和以及利用除了协整外的其他方法进行统计套利。

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